【УМК «Человек»】Математика, 9 класс, часть 1: Понятие вращения: от повседневных явлений к математической абстракции

Представьте, как снежинка падает на вашу ладонь, или как водяная турбина быстро вращается в бурном потоке. За этими явлениями скрывается единый геометрический закон. В этом уроке мы перейдём от интуитивного восприятия к точному математическому определению понятия «вращение», а также исследуем удивительные свойства фигур, сохраняющиеся при повороте.

I. Математическое определение вращательной симметрии

В геометрии вращение — это не хаотичное движение, а точное преобразование. Согласно определению учебника:

Определение: Если фигура после поворота вокруг некоторой точки $O$ на угол $\alpha$ совпадает с исходной фигурой, то говорят, что эта фигура обладает вращательной симметрией относительно точки $O$ с углом $\alpha$.

Это определение означает переход от динамического процесса (вращения) к статическому свойству (симметрии). Например, лопасти водяной турбины, поворачивающиеся вокруг оси на $120^\circ$, совпадают с начальным положением — это типичная $120^\circ$ вращательная симметриясоответствие.

II. Наблюдение и обобщение: элементы вращения

Сравнивая архитектурные орнаменты (статические) и лопасти механизмов (динамические), мы можем выделить три ключевых элемента преобразования вращения:

Центр вращения— точка, которая остаётся неподвижной во время вращения.
Направление вращения— по часовой стрелке или против часовой стрелки.
Угол поворота— угол между соединяющими соответствующие точки и центр вращения отрезками.

III. Перенос методологии: сочетание чисел и форм

Изучая квадратичную функцию, мы выясняли её свойства, наблюдая график. При изучении преобразований вращения мы используем аналогичный подход,сочетание чисел и формкоторый предполагает вывод геометрических свойств (числовых характеристик) на основе анализа траекторий фигур (форм).

🎯 Основной закон: свойства вращения

1. Расстояния от соответствующих точек до центра вращения равны;
2. Угол между отрезками, соединяющими любую пару соответствующих точек с центром вращения, равен углу поворота;
3. Фигуры до и после вращения равны (конгруэнтны).

ВОПРОС 1

Какое из следующих повседневных явлений не является преобразованием вращения?

Движение стрелок часов

Вращение лопастей электровентилятора

Подъём и спуск лифта

Вращение рулевого колеса

ВОПРОС 2

На сколько градусов нужно повернуть квадрат вокруг его центра, чтобы он совпал сам с собой?

45°

90°

180°

360°

ВОПРОС 3

Какое из следующих утверждений о свойствах вращения неверно?

Форма и размеры фигур до и после вращения не изменяются

Центр вращения в процессе преобразования остаётся на месте

Расстояния от соответствующих точек до центра вращения могут быть разными

Угол между линиями, соединяющими любую пару соответствующих точек с центром вращения, равен углу поворота

ВОПРОС 4

Каковы координаты точки А(3, 4), полученные после поворота вокруг начала координат на 180°?

(-3, 4)

(3, -4)

(-3, -4)

(-4, -3)

ВОПРОС 5

Какой наименьший угол поворота вокруг центра может привести равносторонний треугольник к совпадению с исходным?

60°

120°

180°

240°

Комплексное исследование: от динамических движений к геометрической оптимизации

Вопрос 1

[Междисциплинарное применение] Как показано на рисунке, маленький шарик катится с вершины наклонной плоскости А до точки В. (1) Запишите функцию зависимости пройденного расстояния $s$ (м) от времени $t$ (с) (подсказка: $s = \bar{v} \times t$, $\bar{v} = \frac{v_0 + v_t}{2}$). (2) Если длина наклонной плоскости 3 м, сколько времени потребуется шарику, чтобы достичь нижней точки?

Решение:
(1) Предположим, что шарик движется с постоянным ускорением $a$ из состояния покоя. Тогда $v_t = at$. Подставим в подсказку: $\bar{v} = \frac{0 + at}{2} = \frac{1}{2}at$. Следовательно, $s = (\frac{1}{2}at) \cdot t = \frac{1}{2}at^2$. Это модель квадратичной функции.
(2) Необходимо вычислить, исходя из конкретного ускорения $a$. Если в задаче предполагается $a = 2/3$ (распространённое значение в учебниках), то $3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^2 \implies t^2 = 9 \implies t = 3$ секунды.

Вопрос 2

[Геометрическая оптимизация] В прямоугольном треугольнике △ABC угол А = 30°, угол С = 90°, АВ = 12. Необходимо вырезать внутри прямоугольник СDEF так, чтобы его вершины находились на сторонах. Где следует расположить точку Е, чтобы площадь прямоугольника была максимальной?

Решение:
Пусть $CD = x$. Тогда в прямоугольном треугольнике △ABC: $BC = 6$, $AC = 6\sqrt{3}$. Используя подобие треугольников $\triangle BDE \sim \triangle BCA$, получаем: $\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BC} \implies \frac{DE}{6\sqrt{3}} = \frac{6 - x}{6} \implies DE = \sqrt{3}(6 - x)$.
Площадь $S = CD \cdot DE = x \cdot \sqrt{3}(6 - x) = -\sqrt{3}x^2 + 6\sqrt{3}x$.
Это парабола, направленная вниз. Максимальная площадь достигается при $x = -\frac{6\sqrt{3}}{2(-\sqrt{3})} = 3$. При этом $CD = 3$, то есть точка D — середина стороны ВС. Соответственно,точка Е должна находиться в середине гипотенузы АВсоответствие.

Вопрос 3

[Симметрия по координатам] Какие две точки симметричны относительно начала координат $O$?
А(-5, 0), В(0, 2), С(2, -1), Д(2, 0), Е(0, 5), Ф(-2, 1), Г(-2, -1)

Решение:
Точки, симметричные относительно начала координат, удовлетворяют правилу $(x, y) \to (-x, -y)$. Проверим каждую точку:
Симметричная точка для С(2, -1) — это (-2, 1), как раз точка Фсоответствие.
Следовательно, точки С и Ф симметричны относительно начала координат.

Вопрос 4

[Открытый вопрос] Приведите примеры вращения плоских фигур. Каковы свойства вращения плоских фигур?

Пример ответа:
Примеры: Вращение ветряной мельницы, вращение стрелок часов, вращение рулевого колеса автомобиля, вращение карусели, завинчивание гайки ключом и т.д.
Свойства:
1. Фигуры до и после вращения конгруэнтны (одинаковы по форме и размеру);
2. Расстояния от соответствующих точек до центра вращения равны;
3. Угол между линиями, соединяющими любую пару соответствующих точек с центром вращения, всегда равен углу поворота.